そもそも腹掛け自体が江戸時代に着用されていた衣服で、現在はお祭りや端午の節句などの伝統行事の際に着用する機会があるぐらいで、日常的なものではないのであまり詳しいことが現在では分からなくなっているのです。

まず両方とも同じだという説、これは腹掛けを販売しているお店であっても商品を腹掛（どんぶり）と表記して販売しているところも少なくありません。
また腹当てと呼ばれる事もありますが、それと同じである地方ではどんぶりと呼ばれていたため、人によっては呼び方が違っていても矛盾はしません。

次に腹掛とは腹部に何もない状態の衣服で、どんぶりとは腹部に物入れがついているものだという説です。
物入れがあった方が便利だと後からつけられ、物入れの有り無しで腹掛とどんぶりと名称をかけて区別したため、例えば腹掛けとして販売していても客の要望で物入れをつけてどんぶりとしても提供出来ますよ、という意味で腹掛（どんぶり）と商品名をつけている可能性もあるわけです。

そして最後の説は腹掛けの物入れの部分をどんぶりという、つまりどんぶりとは物入れを現す言葉だという説です。
衣服に肩紐だったり、ボタンだったりと各名称があるわけですから物入れをどんぶりと呼んでもおかしくありません。